Znanje

Kako izračunati polinom druge stopnje (enačba druge stopnje)

Posted on
Avtor: Monica Porter
Datum Ustvarjanja: 17 Pohod 2021
Datum Posodobitve: 1 Julij. 2024
Anonim
Razstaviti polinom druge stopnje z reševanjem enačbe druge stopnje
Video.: Razstaviti polinom druge stopnje z reševanjem enačbe druge stopnje

Vsebina

V tem članku: Nadaljujte s preskusom in napakoProcedi z razkrojem »Trojna igra« Razlika dveh kvadratov Uporabite kvadratno formuloUporaba kalkulatorja

Polinom je sestavljen iz spremenljivke (x), dvignjene na določeno moč, imenovano stopnja polinoma, in več drugih izrazov nižjih stopenj in / ali več drugih konstant. Faktificirati polinom druge stopnje (imenovan tudi "kvadratna enačba") pomeni zmanjšati začetni izraz na produkt izrazov manjših stopenj, ki jih je mogoče množiti drug za drugim. To znanje je del srednješolske smeri in še več, zato je ta članek morda težko razumeti, če še nimate zahtevane stopnje matematike.


faze

Za začetek



  1. Napišite svoj izraz. Standardna oblika enačbe druge stopnje je:

    os + bx + c = 0
    Začnite z urejanjem pogojev svoje enačbe po vrstnem redu moči, od največjih do najmanjših, kot je v standardnem obrazcu. Vzemimo za primer:

    6 + 6x + 13x = 0
    Ta izraz bomo preuredili tako, da bo olajšal delo s preprostim premikanjem izrazov:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. Poiščite faktorski obrazec z eno od spodnjih metod. Faktorizacija bo dala dva krajša izraza, ki bosta dala začetni polinom, če jih pomnožimo drug za drugim:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    V tem primeru sta (2x +3) in (3x + 2) dejavniki začetnega izraza, 6x + 13x + 6.




  3. Preverite svoje delo! Pomnožite dejavnike, ki ste jih ugotovili. Nato združite podobne izraze in končali boste. Začnite z:

    (2x + 3) (3x + 2)
    Začnimo preizkušati ta izraz, pomnožimo izraza obeh izrazov, da dobimo:

    6x + 4x + 9x + 6
    Od tam lahko dodamo 4x in 9x, ker sta izraza iste stopnje. Takrat vemo, da so naši dejavniki pravilni, ker se dobro izrazimo odhoda:

    6x + 13x + 6.

1. postopek Nadaljujte s poskusom in napako

Če imate opravka s precej preprostim polinomom, bi morali biti na prvi pogled sposobni najti njegovo razgradnjo kot faktorski izdelek. Na primer, mnogi matematiki lahko vidijo ta izraz 4x + 4x + 1 poda dejavnike (2x + 1) in (2x + 1) po navadi in z izkušnjami (očitno to ni tako preprosto v primeru zapletenih polinomov). Za ta primer vzemimo manj pogost izraz:

3x + 2x - 8

.




  1. Sestavite seznam faktorjev koeficienta je in c. Uporaba izraza obrazca os + bx + c = 0, določite koeficiente je in c in navedite ustrezne dejavnike. Za: 3x + 2x - 8, to daje:

    a = 3 in ima samo en par dejavnikov: 1 * 3
    c = -8 in štirje pari faktorjev: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 in -1 * 8..



  2. Vpišite na svoj papir papir dva para oklepajev s presledkom. Konstante za vsak izraz vpišete v prostor:

    (x) (x).



  3. Pred x zapišite par možnih faktorjev za koeficient je. Za koeficient je v našem primeru 3x obstaja le ena možnost:

    (3x) (1x).



  4. Nato preostala prazna presledka izpolnite s parom faktorjev za koeficient c. Vzemite za primer 8 in 1. Zapišite jih:

    (3x8) (X1).



  5. Odločite se zdaj za znak (več ali manj), da postavite med x in številko, ki ste jo postavili za njim. Glede na znak izvirnega izraza je mogoče najti, kakšni bi morali biti znaki konstante. klic h in K konstante naših dejavnikov:

    Če je os + bx + c, potem (x + h) (x + k)
    Če je ax - bx - c ali ax + bx - c, potem (x - h) (x + k)
    Če je os - bx + c, potem (x - h) (x - k)
    V našem primeru, 3x + 2x - 8, moramo znake postaviti na naslednji način: (x - h) (x + k), kar nam daje naslednja dva dejavnika:

    (3x + 8) in (x - 1).



  6. Preverite obratovalni obrazec, tako da ga na novo oblikujete. Prvi hitri test je preveriti, ali ima srednji izraz pravo vrednost. Če x ni dober, ste morda za koeficient izbrali napačen par faktorjev c. Preverimo naše rezultate:

    (3x + 8) (x - 1)
    Z množenjem dobimo:

    3x - 3x + 8x - 8
    Če za poenostavitev tega izraza dodamo podobna izraza (-3x) in (8x), dobimo:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    Zdaj vemo, da smo verjetno ugotovili napačne dejavnike:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. Po potrebi izmenjajte izbiro dejavnikov. V našem primeru poskusimo 2 in 4 namesto 1 in 8:

    (3x + 2) (x - 4)
    Zdaj naš koeficient c je -8, vendar množenja (3x * -4) in (2 * x) dajeta -12x in 2x, ki poleg tega ne dajeta vedno začetne vrednosti b, torej + 2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x.



  8. Po potrebi vrstni red razveljavite. V svoj primer obrnemo mesto 2 in 4:

    (3x + 4) (x - 2)
    Zdaj koeficient c je vedno dober, vendar so koeficienti izrazov v x tokrat vredni -6x in 4x. Ko je dodano, to daje:

    -6x + 4x = -2x
    2x ≠ -2x Zelo smo blizu začetne vrednosti 2x, ki jo želimo najti, vendar znak ni dober.



  9. Po potrebi še enkrat preverite znake. Zdaj bomo držali isti vrstni red, vendar bomo izmenjali znake:

    (3x - 4) (x + 2)
    Koeficient pred c vedno dobro, izrazi v x pa so zdaj vredni (6x) in (-4x). Od:

    6x - 4x = 2x
    2x = 2x Tako dobimo 2x, ki smo ga prvotno imeli. Tako smo verjetno našli prave dejavnike.

2. postopek Nadaljujemo z razkrojem

Ta metoda nam bo omogočila, da prepoznamo vse možne dejavnike za pridobitev koeficientov je in c in jih uporabite za določitev, kateri dejavniki so pravi. Če so številke zelo velike ali se zdijo druge metode poskusov in napak predolge, lahko uporabite to metodo. Vzemimo naslednji primer:

6x + 13x + 6

.



  1. Pomnožite koeficient je po koeficientu c. V našem primeru je dr. je je enako 6 in c je enako 6.

    6 * 6 = 36.



  2. Poiščite koeficient b s faktoringom in nato testiranjem pridobljenih dejavnikov. Iščemo dve številki, ki sta dejavnika izdelka je * c ki smo jih opredelili in katerih vsota je vrednost koeficienta "b" (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. Uvedite dve številki, ki ste jih pravkar dobili v svoji enačbi; postavite jih pred x, tako da je njihova vsota enaka koeficientu b. Vzemimo črke K in h predstavljata dobljeni dve številki, 4 in 9:

    os + kx + hx + c
    6x + 4x + 9x + 6.



  4. Razvrstite vaš polinom v skupine. Enačbo organizirajte tako, da najdete največji skupni faktor prvih dveh izrazov in največji skupni faktor zadnjih dveh izrazov. Nato bi morali dobiti vsoto dveh enakih faktorjev. Dva koeficienta seštejte in jih v oklepajih postavite pred vašo faktorje; potem dobite dva faktorja:

    6x + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2).

3. način "Trojna igra"

Ta metoda je zelo podobna prejšnji. To vključuje preučitev možnih faktorjev produktov koeficientov je in c, nato pa jih uporabite za iskanje vrednosti b. Vzemimo za primer naslednjo enačbo:

8x + 10x + 2



  1. Pomnožite koeficient je po koeficientu c. Tako kot pri metodi razkroja, nam bo tudi to pomagalo prepoznati potencialne kandidate za koeficient b. V našem primeru je dr. je je enako 8 in c je vreden 2.

    8 * 2 = 16.



  2. Poiščite dve številki, katerih produkt je število, ki ste ga pravkar našli (16) in katerega vsota daje koeficient "b". Ta korak je enak koraku metode razgradnje - torej testiramo in zavrnemo kandidate za konstante. Izraz koeficientov je in c je enako 16 in koeficient c je enako 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. Vzemite ti dve številki in ju nadomestite v formuli "trojne igre". Vzemite dve številki iz prejšnjega koraka - pokličimo ju h in K - in jih vstavite v naslednji izraz:

    ((os + h) (os + k)) / a

    Nato dobimo:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. Poiščite, kateri od oklepajočih izrazov v števcu je deljiv s koeficientom je. V tem primeru preizkusimo, ali (8x + 8) ali (8x + 2) lahko delimo z 8. (8x + 8) je deljivo z 8, potem bomo ta izraz razdelili na je in pustite drug izraz kot je.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)
    Izraz, ki ga imamo tukaj, je tisti, ki ostane po delitvi s koeficientom je : (x + 1).



  5. Poiščite - če obstaja - večji skupni dejavnik v obeh oklepajih. V našem primeru ima drugi izraz večji skupni faktor 2, saj je 8x + 2 = 2 (4x + 1). Ta odgovor združite z izrazom, ki ste ga našli v prejšnjem koraku. Tako ste našli dva dejavnika vašega polinoma.

    2 (x + 1) (4x + 1).

Metoda 4 Razlika dveh kvadratov

Nekatere koeficiente polinomov lahko označimo kot "kvadrate", to je produkte množenja dveh števil. Z identifikacijo teh kvadratov lahko mnogo hitreje faktorite nekaj polinoma. Vzemimo za primer enačbo:

27x - 12 = 0



  1. Začnite tako, da vse skupaj razvrstite v večji skupni dejavnik, če je mogoče. V našem primeru vidimo 27 in 12, oba pa sta deljiva s 3, zato lahko začetni izraz "razbijemo" na naslednji način:

    27x - 12 = 3 (9x - 4).



  2. Ugotovite, ali so koeficienti vaše enačbe v kvadratu. Če želite uporabiti to metodo, bi morali najti kvadratne korenine za vaše koeficiente (upoštevajte, da ne upoštevamo negativnih znakov - saj imamo opravka s kvadratki, so lahko produkt dveh pozitivnih števil oz. negativna)

    9x = 3x * 3x in 4 = 2 * 2.



  3. S kvadratnimi koreninami, ki ste jih našli, napišite svoje faktorje. Vzemite vrednosti je in c prej najdeni - je = 9 in c = 4 - preden najdejo svoj kvadratni koren - √je = 3 in √c = 2. To bodo koeficienti naših faktorskih izrazov:

    27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

5. način uporabe kvadratne formule

Če vse zgoraj naštete metode niso uspele in ne morete najti pravilnih faktorjev za svojo enačbo, uporabite kvadratno formulo. Vzemimo naslednji primer:

x + 4x + 1 = 0



  1. Vzemite vrednosti koeficientov "a", "b" in "c" in jih nadomestite z naslednjo kvadratno formulo:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2a
    Nato dobimo izraz:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. Rešite enačbo in poiščite x. Kot lahko vidite zgoraj, bi morali dobiti dve vrednosti x:


    x = -2 + √ (3) ali x = -2 - √ (3).



  3. Za iskanje dejavnikov uporabite vrednost x. Vnesite vrednosti x, dobljene prej kot konstante obeh polinomnih izrazov. To bodo vaši dejavniki. klic h in K vrednosti x in zapišite dve faktorski obliki:

    (x - h) (x - k)
    V tem primeru je končni rezultat:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

6. način uporabe kalkulatorja

Če vam je dovoljeno uporabljati grafični kalkulator, ne pozabite, da bo to zelo olajšalo vašo nalogo, zlasti med izpiti. Ta navodila veljajo samo za grafične kalkulatorje znamke Texas Instrument. Vzemimo za primer naslednjo enačbo:

y = x - x - 2



  1. Vnesite enačbo v kalkulator. Uporabiti boste morali "ločitveno enačbo", torej zaslon.



  2. Na kalkulatorju naredite grafično predstavitev svoje enačbe. Ko vnesete enačbo, pritisnite - potem bi morali videti grafični prikaz krivulje (natančneje, dobili boste "lok", ker delate na polinomih).



  3. Poiščite točke presečišča loka z osjo x (x). Ker so polinomne enačbe tradicionalno zapisane v obliki: ax + bx + c = 0, sta to dve vrednosti x, za katera je izraz enak nič:

    (-1, 0), (2 , 0)
    x = -1, x = 2.
    • Če ne morete prebrati vrednosti, kjer vaša krivulja prečka os x, pritisnite in nato. Pritisnite ali izberite "nič". Premaknite kazalec levo od enega od križišč in pritisnite. Nato premaknite kazalec na desno od tega križišča in ponovno pritisnite. Nato premaknite kazalec čim bližje križišču in ponovno pritisnite. Kalkulator bo našel vrednost x. Naredite isto za drugo križišče.



  4. Končno vnesite vrednosti x, pridobljene v prejšnjem koraku, v dvofaktorski izraz. Če pokličemo h in K naši dve vrednosti x, bomo uporabili naslednji izraz:

    (x - h) (x - k) = 0
    In tako bomo dobili naslednja dva dejavnika:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • Svinčnik
  • Papir
  • Enačba druge stopnje (ali kvadratna enačba)
  • Grafični kalkulator (neobvezno)